Question

如图，E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；

（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】试题（1）由已知可得：EF是△ABC的中位线，则可得EF∥AB，EF=AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABED是平行四边形；

（2）由（1）可得四边形AECD是平行四边形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形AECD是矩形．

试题解析：（1）∵E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，

∴EF∥AB，EF=AB，

∵DF=EF，

∴EF=DE，

∴AB=DE，

∴四边形ABED是平行四边形；

（2）∵DF=EF，AF=CF，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AB=AC，AB=DE，

∴AC=DE，

∴四边形AECD是矩形．

或∵DF=EF，AF=CF，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AB=AC，BE=EC，

∴∠AEC=90°，

∴四边形AECD是矩形．