Question

如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．

Answer

（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．

【解析】

（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=CE，PM∥CE，PN=BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.

（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，

所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，

所以△ABD≌△ADE；

（2）△PMN是等边三角形。

理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，

∴PM=CE，PM∥CE，

∵点N，M分别是BC，DE的中点，

∴PN=BD，PN∥BD，

同（1）的方法可得BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC

=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等边三角形。

（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=BD，

∴PM最大时，△PMN周长最大，

∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，

∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，

∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15。

故答案为：△PMN周长的最小值为3，最大值为15