Question

如图，AC是▱ABCD的对角线，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，连接CE，DF，若∠BEC=∠BAC=90°，则sin∠DFE的值为_____．

Answer

【解析】

如图，取BC的中点O，连接AO、EO，作DH⊥BE于H，设EF=a，由已知可推导得出A、B、C、E四点共圆，再根据AE∥BC，可得，继而可得AB=CE=CD，根据AB∥CD以及AE=ED，可推导得出△CDE是等边三角形，继而可得出∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，由EF=a，则AE=a，在Rt△DEH中，则可得DH=a，EH=a，从而可求得FH、DF长，再根据正弦的定义进行求解即可得.

如图，取BC的中点O，连接AO、EO，作DH⊥BE于H，设EF=a，

∵∠BAC=∠BEC=90°，BO=OC，

∴OA=OB=OC=OE，

∴A、B、C、E四点共圆，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∴，

∴AB=CE=CD，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC=90°，

∵AE=ED，

∴CE=DE=AE=CD，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠ABC=∠CDE=60°，

∴∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，

∵EF=a，则AE=a，

在Rt△DEH中，∵∠HED=30°，DE=a，

∴DH=a，EH=a，

∴FH=a，

DF=，

∴sin∠DFE=，

故答案为：．