Question

综合与探究

如图1，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．D为坐标平面第四象限内一点，且使得△ABD与△ABC全等．

（1）求抛物线的表达式．

（2）请直接写出点D的坐标，并判断四边形ACBD的形状．

（3）如图2，将△ABD沿y轴的正方形以每秒1个单位长度的速度平移，得到△A′B′D′，A′B′与BC交于点E，A′D′与AB交于点F．连接EF，AB′，EF与AB′交于点G．设运动的时间为t（0≤t≤2）秒．

①当直线EF经过抛物线的顶点T时，请求出此时t的值；

②请直接写出点G经过的路径的长．

Answer

（1）y=﹣x2+x+2；（2）D（3，﹣2）．四边形ACBD是矩形，理由见解析；（3）①t的值为；②点G经过的路径的长为1．

【解析】

（1）将A点和B点坐标代入y=ax2+bx+2得a、b的方程组，解此方程组即可得答案，

（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，根据△ABD与△ABC全等可知AC=BD，BC=AD，则可证明四边形ABCD为矩形；过点D作DM⊥x轴于M，通过证明△COB≌△DMA，即可求出D点坐标，

（3）①利用二次函数的性质得到顶点T的坐标为（）；可得直线BC的解析式为y=﹣x+2，直线AD的解析式为y= -x﹣，利用直线的平移得到直线A′D′的解析式为y=﹣x﹣+t，直线A′B′的解析式为y=t，则F（2t﹣1，0），E（4﹣2t，t），接着利用待定系数法求出直线EF的解析式为y=，然后把T点坐标代入得到关于t的方程，然后解此方程即可；

②先求出直线AB′的解析式为y=，再解方程组 得G（），利用G点的坐标特征可判断点G在直线x=，然后利用0≤t≤2得到点G经过的路径的长

（1）将A（﹣1，0），B（4，0）两点坐标代入y=ax2+bx+2得 ，解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；

（2）D（3，﹣2）．四边形ACBD是矩形，理由如下：

当x=0时，得y=2，

∴OC=2，由A（﹣1，0），B（4，0）得OA=1，OB=4．

∴AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=52=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，

∵△ABD与△ABC全等，

∴AC=BD，BC=AD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

而∠ACB=90°，

∴四边形ABCD为矩形.

如图，过点D作DM⊥x轴于M，

∵∠COB=∠AMD=90°，∠CBA=∠DAB，BC=AD，

∴△COB≌△DMA，

∴AM=OB，OC=DM=2，

∴OM=AM-1=OB-1=3

∴D（3，-2）

（3）①∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴顶点T的坐标为（）；

∵B(4,0) , C(0,2), A(-1,0) D(3,-2)

∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，直线AD的解析式为y=﹣x﹣，

∵直线AD向上平移t个单位得到A′D′，直线AB向上平移t个单位得到A′B′，

∴直线A′D′的解析式为y=﹣x﹣+t，直线A′B′的解析式为y=t，

当y=0时，﹣ x﹣+t=0，解得x=2t﹣1，则F（2t﹣1，0），

当y=t时，﹣ x+2=t，解得x=4﹣2t，则E（4﹣2t，t），

设直线EF的解析式为y=mx+n，

把E（4﹣2t，t），F（2t﹣1，0）代入得 ，解得 ，

∴直线EF的解析式为y=，

把T（）代入得，

整理得16t2﹣120t+125=0，解得t1=，t2=（舍去），

∴此时t的值为；

②∵直线AB向上平移t个单位得到A′B′，

∴B′（4，t），

易得直线AB′的解析式为y=tx+t，

解方程组得，则G（），

∴点G的横坐标为定值，点G在直线x=上，

而0≤t≤2，

∴点G经过的路径的长为1．