Question

如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．

(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；

(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．

①　　　　　　　　②

Answer

(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由见解析.

【解析】

先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．

【解析】
(1)∠EFD＝∠C－∠B.

理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝∠BAC.

由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形内角和定理得

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，

即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②.

②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.

(2)成立．

理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，

故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.

在△ABC中，由三角形内角和定理得：

∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.