Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP=x，△PBF的面积为S₁，△PDE的面积为S₂

（1）求证：BP⊥DE；

（2）求S₁﹣S₂关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）当∠PBF=30°时，求S₁﹣S₂的值．

Answer

（1）见解析；（2）S1﹣S2=8﹣2x（0＜x＜4）；（3）S1﹣S2=8﹣2x=8﹣.

【解析】

（1）如图1中，延长BP交DE于M．只要证明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延长即可解决问题；

（2）根据S1-S2=S△PBF-S△PDE计算即可解决问题；

（3）先求出PC的长，再利用（2）中结论计算即可；

（1）如图1中，延长BP交DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE．

（2）由题意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣（4﹣x）2]﹣•（4﹣x）•x

=8﹣2x（0＜x＜4）．

（3）如图2中，

∵∠PBF=30°，

∵CP=CE，∠DCE=90°，

∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BC•tan30°=，

∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣