Question

如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．

（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；

（2）求证：CG=2AG．

Answer

见解析

【解析】

（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD=DC=BD，从而得∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°可得答案．

（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG=GM=CM，从而得出答案．

（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，

∴AD=DC=BD，

∴∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，

∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，

∵AD是△ABC的边BC的中线，

∴BD=DC，

∵DM∥EG，

∴DM是△BCG的中位线，

∴M是CG的中点，

∴CM=MG，

∵DM∥EG，E是AD的中点，

∴EG是△ADM的中位线，

∴G是AM的中点，

∴AG=MG，

∴CG=2AG．