Question

如图，函数y=﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=kx（k为常数）的图象交于点E，以BE、OE为邻边的平行四边形是菱形．

（1）求k；

（2）过点B作y轴的垂线，交函数y=kx的图象于点C，四边形OACB是矩形吗？为什么？

Answer

（1）y=x（2）是矩形，理由见解析．

【解析】

（1）由题意可得A，B坐标，由BE=OE，可证AE=BE=OE，可求E点坐标，再代入解析式可求k

（2）根据平行线分线段成比例可得OE=EC，可证OACB是平行四边形，且∠AOB=90°可得OACB是矩形

∵函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B

∴A（6，0），B（0，2）

∴BO=2，AO=6

∵OE，BE是菱形的边

∴BE=OE

∴∠ABO=∠BOE

∵∠AOB=90°

∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BOE+∠AOE=90°

∴∠BAO=∠AOE

∴OE=AE

∴AE=BE

作EM⊥AO，作ED⊥BO

∴EM∥BO，DE∥AO

∴，

∴ME=1，DE=3

∴E（3，1）

∵y=kx的图象过E点

∴1=3k

∴k=

∴解析式y=x

（2）是矩形．

∵BC⊥y轴，AO⊥y轴

∴BC∥AO

∴

∴OE=CE，且AE=BE

∴ACBO是平行四边形且∠AOB=90°

∴四边形ACBO是矩形．