Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx－3a经过A(－1，0)，C(0，－3)两点，与x轴交于另一点B.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)已知点D(m，－m－1)在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接BD.问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) y＝x2－2x－3;(2) (0，－1);(3) P的坐标为(1，0)或(9，0).

【解析】

（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可；

（2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；

（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．

(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx－3a中，

得，

解得，

∴y＝x2－2x－3；

(2)将点D(m，－m－1)代入y＝x2－2x－3中，得m2－2m－3＝－m－1.

解得m＝2或－1，

∵点D(m，－m－1)在第四象限，

∴D(2，－3)，

∵直线BC的表达式为y＝x－3，

∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3－2＝1.

∴点D关于直线BC对称的点D′的坐标为(0，－1)，

(3)存在，满足条件的点P有两个，

①过点C作CP∥BD，交x轴于点P，则∠PCB＝∠CBD，

∵直线BD的表达式为y＝3x－9，直线CP过点C，

∴直线CP的表达式为y＝3x－3.

∴点P的坐标为(1，0)；

②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于点P′，

则∠P′CB＝∠D′BC，

根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，

∴∠P′CB＝∠CBD，

∵直线BD′的表达式为y＝x－1，直线CP′过点C，

∵直线CP′的表达式为y＝x－3，

∴点P′的坐标为(9，0)，

综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，0)或(9，0).