Question

如图，顶点为(，－)的抛物线y＝ax²＋bx＋c过点M(2，0)．

(1)求抛线的表达式；

(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k＞0)图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

Answer

（1）y＝(x－)2－（2）或

【解析】

（1）依题意可设抛物线方程为顶点式（a≠0），将点M（2，0）代入可得：，解得a=1．故抛物线的解析式为：；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为：．

则对称轴为x=，∴点A与点M（2，0）关于直线x=对称，∴A（-1，0）．

令x=0，则y=﹣2，∴B（0，﹣2）．

在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=．

设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1），∴直角△AOG是等腰直角三角形，∴∠AGO=45°．

∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数（k＞0）图象位于点一、三象限．

故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：

①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DN⊥y轴于点N，在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，∴DN=BN=，∴D（﹣，﹣﹣2），∵点D在反比例函数（k＞0）图象上，∴k=﹣×（﹣﹣2）=；

②此菱形以AB为对角线，如图2，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数（k＞0）的图象于点D．

再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．

在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，∴BE=DE．

可设点D的坐标为（x，x﹣2）．

∵BE2+DE2=BD2，∴BD=BE=x．

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BD=x，∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（x）2=（x+1）2+（x﹣2）2，解得x=，∴点D的坐标是（，）．

∵点D在反比例函数（k＞0）图象上，∴k=×=．

综上所述，k的值是或．