Question

如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x²＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是_________.

Answer

0＜m≤2

【解析】

代入y＝0求出抛物线与x轴交点的坐标，进而可得出0＜m＜3，由点P的横坐标可得出OM＝m、PM＝3m−m2，根据矩形的周长公式可得出C矩形OMON＝-2m2＋8m，再利用二次函数的性质即可得出当矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大时，m的取值范围．

当y＝0时，有−x2＋3x＝0，

解得：x1＝0，x2＝3，

∴0＜m＜3，

∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为（m，−m2＋3m），OM＝m，PM＝3m−m2，

∴C矩形OMON＝2（OM＋PM）＝2（m＋3m−m2）＝−2m2＋8m，

∴当0＜m≤2时，矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大．

故答案为：0＜m≤2．