Question

如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．

（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；

（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；

（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．

   

Answer

（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；（3）EP的值为3或6﹣或5．

【解析】

（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；

（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；

（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．

（1）如图1中，

在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），

∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；

（2）如图1中，连接OP．

∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．

∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，

∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．

∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．

故答案为：（2，）．

（3）如图2中，当PM=PN=时，

∵AOCB是平行四边形，∴∠MCN=∠A=60°．∵MC=CN，∴△MNC是等边三角形，∴∠CMN=∠CNM=60°．

∵PM⊥OC，∴∠PMN=∠PNM=30°，∴∠PNF=30°+60°=90°，

∵∠PFN=∠BCO=60°，∴∠NPF=30°，NF=1，∴PF=2NF=2，

∵EF==5，∴PE=5﹣2=3．

如图3中，当PM=MN时，

∵PM=MN=CM=，∴EP=OM=6﹣．

如图4中，当点P与F重合时，NP=NM，此时PE=EF=5．

综上所述：满足条件的EP的值为3或6﹣或5．