Question

如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=6，连接BD、CD、CE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN的面积最大值为_____．

Answer

32

【解析】

由题意可证△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN=PN2=BD2．可得BD最大时，△PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=6为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值．

∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC，

∴DB=EC，∠ABD=∠ACE．

∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点，

∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD，

∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC．

设∠ACE=x°，∠ACD=y°，

∴∠ABD=x°，∠DBC=45°﹣x°=∠PNC，∠DCB=45°﹣y°，

∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC=45°﹣y°+45°﹣x°=90°﹣x°﹣y°，

∴∠MPN=90°且PN=PM，

∴△PMN是等腰直角三角形，∴S△PMN=PN2=BD2，∴当BD最大时，△PMN的面积最大．

∵D是以A点为圆心，AD=6为半径的圆上一点，

∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大．

此时BD=AB+AD=16，

∴△PMN的面积最大值为32．

故答案为：32．