Question

四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．

（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：∠DAG=∠DCG；

（2）如图1，猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（3）如图2，在（2）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG．

Answer

（1）证明见解析（2）AG⊥BE（3）证明见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；

（2）根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；

（3）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立.

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

（2）【解析】
AG⊥BE．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（3）【解析】
由（2）可知AG⊥BE．

如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON与△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（AAS）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN为正方形，

∴HO平分∠BHG．