Question

如图，抛物线与x轴交于点，与BC交于点C，连接AC、BC，已知．

       

求点B的坐标及抛物线的解析式；

点P是线段BC上的动点点P不与B、C重合，连接并延长AP交抛物线于另一点Q，设点Q的横坐标为x．

记的面积为S，求S关于x的函数表达式并求出当时x的值；

记点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）2；（3）存在，当时，取最大值，最大值为．

【解析】

根据仙四三角形的判定与性质，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

根据相似三角形的判定与性质，可得，根据三角形的面积，可得，根据二次函数的性质，可得答案．

，，

．

，，

∽，

，

，

当时，，即

，

，

将A、B代入得：

，解得

抛物线的解析式为

连接OQ，如图1所示

．

设点Q的坐标为，

．

令，解得：，故x得值为2．

存在

过点Q作于H，如图2所示

．

，，

∽，

．

，

，

，

当时，取最大值，最大值为．