Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上的一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）CE=4．

【解析】

试题（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；

（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．

试题解析：（1）连接OE．

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE=∠EBC，

∴∠EBC=∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA=∠C，

∵∠ACB=90°，

∴∠OEA=90°

∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，

由题意可知四边形OECH为矩形，

∴OH=CE，

∵BF=6，

∴BH=3，

在Rt△BHO中，OB=5，

∴OH=4，

∴CE=4．