Question

如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．

(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；

(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；

(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？

     

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ACDM是菱形．理由见解析；（3）α=30°，即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．

【解析】

（1）根据△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,可得:∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,再根据△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,

进而可得:CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,根据全等三角形的判定定理可得:△CAF≌△CDH,根据全等三角形的性质可得:CF=CH,

（2）根据∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,可得:∠AFC=90°,而∠FCD=90°,进而可得:AB∥CD,同理可得AC∥DE,根据平行四边形的判定可得:四边形ACDM是平行四边形,根据CA=CD,根据菱形的定义可得:四边形ACDM是菱形,

（3）根据CB=CD,∠BCD=α,可得:∠CBD=∠CDB=（180°-α）,继而可得:∠HBD＞∠BDH,

即当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形,根据∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,然后分类讨论:当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°, 当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,因此α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形．

（1）证明:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,

∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,

∵△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,

∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,

∴△CAF≌△CDH,

∴CF=CH,

（2）四边形ACDM是菱形,理由如下:

∵∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,

∴∠AFC=90°,而∠FCD=90°,

∴AB∥CD,

同理可得AC∥DE,

∴四边形ACDM是平行四边形,

而CA=CD,

∴四边形ACDM是菱形,

（3）∵CB=CD,∠BCD=α,

∴∠CBD=∠CDB=（180°-α）,

∴∠HBD＞∠BDH,

∴当DB=DH或BH=BD时,△BDH是等腰三角形,

∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,

当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°, 

当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,

∴α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形.