Question

在直角三角形中，，点E、F分别在边AB、AC上，将沿着直线EF折叠，使得A点恰好落在BC边上的D点处，且．

求证：四边形AFDE是菱形．

若，，求线段ED的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）易证∠EDB=90°，所以∠EDB=∠C，所以AC∥ED，从而可知∠CFD=∠FDE，由翻折可知：∠A=∠FDE，所以∠A=∠CFD，所以DF∥AE，所以四边形AFDE是平行四边形，由翻折可知：AF=DF，所以平行四边形AFDE是菱形．

（2）设CF=x，则由翻折可知：DF=AF=6－x，根据勾股定理可知（6﹣x）2=x2+22，解得：x=，则DF=6﹣x=，所以在菱形AFDE中，ED=FD=．

（1）∵ED⊥BC，∴∠EDB=90°．

∵∠C=90°，∴∠EDB=∠C，∴AC∥ED，∴∠CFD=∠FDE．

由翻折可知：∠A=∠FDE，则∠A=∠CFD，∴DF∥AE，

∴四边形AFDE是平行四边形，

由翻折可知：AF=DF，∴平行四边形AFDE是菱形．

（2）设CF=x，则由翻折可知：DF=AF=6－x，由勾股定理可知：DF2=CF2+CD2，即

（6﹣x）2=x2+22，

解得：x=，

则DF=6﹣x=，∴菱形AFDE中，ED=FD=．