Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx﹣与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，现有经过点A的直线l：y=kx+b₁与y轴交于点C，与抛物线的另个交点为D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D在第二象限且满足CD=5AC，求此时直线1的解析式；在此条件下，点E为直线1下方抛物线上的一点，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）如图，设P在抛物线的对称轴上，且在第二象限，到x轴的距离为4，点Q在抛物线上，若以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）y=x2+x﹣；（2）当x=﹣2时，S△ACE有最大值，最大值为，此时E点坐标为（﹣2，﹣）；（3）（﹣2，﹣）或（﹣4，）或（，2+）或（﹣，2﹣）．

【解析】

（1）根据抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，因此设交点式y=a（x﹣1）（x+3），展开后利用常数项得到关于a的方程，解方程求出a的值即可得；

（2）作DF⊥x轴于F，EM∥y轴交AD于M，如图1，根据平行线分线段成比例定理可得到OF=5OA=5，再根据抛物线解析式得到D（﹣5，6），利用待定系数法求得直线l的解析式为y=﹣x+1，设E（x， x2+x﹣），则E（x，﹣x+1），从而ME=﹣x2﹣2x+，然后利用三角形面积公式可推导得出S△ACE=（﹣x2﹣2x+），再根据二次函数的性质即可解决问题；

（3）先确定P（﹣1，4），设Q（t， t2+t﹣），然后分情况：AP为平行四边形APDQ的一边或AP为平行四边形ADPQ的对角线两种情况分别讨论即可得.

（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+3），

即y=ax2+2ax﹣3a，

∴﹣3a=﹣，解得a=，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣；

（2）作DF⊥x轴于F，EM∥y轴交AD于M，如图1，

∵OC∥DF，

∴，

而CD=5AC，

∴OF=5OA=5，

即点D的横坐标为﹣5，

当x=﹣5时，y=x2+x﹣=6，则D（﹣5，6），

把A（1，0），D（﹣5，6）代入y=kx+b1得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+1，

设E（x， x2+x﹣），则E（x，﹣x+1），

∴ME=﹣x+1﹣（x2+x﹣）=﹣x2﹣2x+，

∴S△ACE=S△AME﹣S△CME=×1•EM=（﹣x2﹣2x+）=﹣x2﹣x+=﹣（x+2）2+，

当x=﹣2时，S△ACE有最大值，最大值为，此时E点坐标为（﹣2，﹣）；

（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

而P在抛物线的对称轴上，且在第二象限，到x轴的距离为4，

∴P（﹣1，4），

设Q（t， t2+t﹣），

当AP为平行四边形APDQ的一边时，如图2，点A（1，0）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点P（﹣1，4），则点Q向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点D，则D（t﹣2，t2+t﹣+4），

把D（t﹣2， t2+t﹣+4）代入y=x2+x﹣得（t﹣2）2+（t﹣2）﹣=t2+t﹣+4，解得t=﹣2，此时Q（﹣2，﹣）；

当AP为平行四边形APOD的一边时，点A（1，0）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点P（﹣1，4），则点Q向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点D，则D（t+2，t2+t﹣-4），

把D（t+2，t2+t﹣-4）代入y=x2+x﹣得

（t+2）2+（t+2）﹣=t2+t﹣4，解得t=-4，此时Q（﹣4，）；

当AP为平行四边形ADPQ的对角线时，如图3，线段AP的中点坐标为（0，2），

设D（m，n），则=0， =2，

∴m=﹣t，n=﹣t2﹣t+，

∴D（﹣t，﹣t2﹣t+），

把D（﹣t，﹣t2﹣t+）代入y=x2+x﹣得，t2﹣t﹣=﹣t2﹣t+，

解得t1=，t2=﹣，此时Q点坐标为（，2+）或（﹣，2﹣），

综上所述，Q点坐标为（﹣2，﹣）或（﹣4，）或（，2+）或（﹣，2﹣）．