Question

（1）如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．

（2）用（1）中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．

Answer

（1）∠1+∠2=∠3+∠4（2）60°

【解析】

（1）由四边形的内角和是360°，以及邻补角的和是180°求解即可；

（2）依据（1）的结论可知∠MDA+∠DAN=240°，由角平分线的定义可求得∠EDA+∠EAD=120°，最后在△ADE中由勾股定理可求得∠E的度数．

（1）∠1+∠2=∠3+∠4，理由如下：

由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，

∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°，

∴∠1+∠2=∠3+∠4；

（2）由（1）可知∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=240°，

∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，

∴∠EDA=∠MDA，∠EAD=∠DAN，

∴∠EDA+∠EAD=×（∠MDA+∠DAN）=×240°=120°，

∴∠E=180°-(∠EDA+∠EAD) =180°-120°=60°.