Question

如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24

【解析】

试题（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE，AD=CD，由CF∥AB，得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得△AED≌△CFD；

（2）由△AED≌△CFD，得到AE=CF，由EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而有EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；

（3）在Rt△ADE中，由勾股定理得到ED=4，故EF=8，AC=6，从而得到菱形AECF的面积．

试题解析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，∵∠EAC=∠FCA，AD=CD，∠CFD=∠AED，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形；

（3）在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=5，∴ED=4，∴EF=8，AC=6，∴S菱形AECF=8×6÷2=24，∴菱形AECF的面积是24．