Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.

(1)求证：四边形EBFC是菱形；

(2)如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC是菱形；

（2）由（1）得∠2=∠3，再根据∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，从而得出AC⊥CF．

试题解析：证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，

∴BH=HC．

∵FH=EH，

∴四边形EBFC是平行四边形．

又∵AH⊥CB，

∴四边形EBFC是菱形．

（2）证明：如图，

∵四边形EBFC是菱形．

∴∠2＝∠3＝∠ECF．

∵AB=AC，AH⊥CB，

∴∠4＝∠BAC．

∵∠BAC=∠ECF

∴∠4=∠3．

∵AH⊥CB

∴∠4+∠1+∠2=90°．

∴∠3+∠1+∠2=90°．

即：AC⊥CF．