Question

在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.

(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图23(a)．

①请你将图形补充完整；

②线段BF，AD所在直线的位置关系为________，线段BF，AD的数量关系为________．

(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图23(b)．

在(1)中②问的结论是否仍然成立？如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

(1)①见解析;②垂直，相等;(2)成立,理由见解析.

【解析】

(1)①如图所示．

②根据CD⊥EF,可得∠DCF＝90°.由于∠ACB＝90°,可得∠ACB＝∠DCF,∠ACD＝∠BCF.

根据AC＝BC,CD＝CF,可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,继而可得∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

(2)根据CD⊥EF,可得∠DCF＝90°,由于∠ACB＝90°,可证∠DCF＝∠ACB,

所以∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,继而可得∠BCF＝∠ACD,根据AC＝BC,CD＝CF,

可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,所以∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

解:(1)①如图所示．

②∵CD⊥EF,

∴∠DCF＝90°.

∵∠ACB＝90°,

∴∠ACB＝∠DCF,

∴∠ACD＝∠BCF.

又∵AC＝BC,CD＝CF,

∴△ACD≌△BCF,

∴AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,

∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.

故答案为:垂直,相等.

(2)成立．

证明:∵CD⊥EF,

∴∠DCF＝90°,

∵∠ACB＝90°,

∴∠DCF＝∠ACB,

∴∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,

∴∠BCF＝∠ACD,

又∵AC＝BC,CD＝CF,

∴△ACD≌△BCF,

∴AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,

∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.