Question

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN

⑴ 如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

⑵ 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

Answer

（1）MN=AM＋CN，证明见解析（2）MN=CN－AM

【解析】

（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN-AM．

（1）MN=AM+CN．

理由如下：

如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠A+∠BCD=180°，

把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴点M′、C、N三点共线，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN；

（2）MN=CN-AM．

理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，

又∵∠BAD+∠BAM=180°，

∴∠C=∠BAM，

在△ABM和△CBM′中，

，

∴△ABM≌△CBM′（ASA），

∴AM=CM′，BM=BM′，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△MBN和△M′BN中，

∵，

∴△MBN≌△M′BN（SAS），

∴MN=M′N，

∵M′N=CN-CM′=CN-AM，

∴MN=CN-AM．