Question

如图，在口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．

（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；

（2）证明：当旋转角为90⁰时，四边形ABEF是平行四边形；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．

Answer

（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3）理由见解析；旋转角为45°．

【解析】

试题（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；

（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；

（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．

【解析】
（1）在▱ABCD中，AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴AF=CE；

（2）由题意，∠AOF=90°（如图2），

又∵AB⊥AC，

∴∠BAO=90°，

∠AOF=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

即：AF∥BE，

∵AB∥EF，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图3）．

∵▱ABCD，AF=CE，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

又∵EF⊥BD，

∴▱BEDF是菱形，

∵AB⊥AC，

∴在△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC2=AB2+AC2，

∵AB=1，BC=，

∴AC===2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=AC=×2=1，

∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，

∴∠1=45°，

∵EF⊥BD，

∴∠BOF=90°，

∴∠2=∠BOF﹣∠1=90°﹣45°=45°，

即：旋转角为45°．