Question

如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

（2）当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

 (特别提醒:表示角最好用数字)

Answer

（1）四边形BECF是菱形，证明见解析（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形，证明见解析

【解析】（1）四边形BECF是菱形。·························1分

证明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2······2分

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠4=90°

∠3+∠2=90°

∴∠3=∠4

∴EC=AE·····················3分

∴BE=AE··················4分

∵CF=AE

∴BE=EC=CF=BF··········5分

∴四边形BECF是菱形·······6分

（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形··7分

证明：

∵∠A=45。, ∠ACB=90。

∴∠1=45。····························8分

∴∠EBF=2∠A=90。

∴菱形BECF是正方形·················9分

（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=BE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；

（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度；