Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE²+DF²=AF²+DE²．其中正确的是（　　）

A. ②③    B. ②④    C. ②③④    D. ①③④

Answer

C

【解析】

OA不一定等于OD；由AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，根据角平分线的性质，可得DE=DF，继而证得AE=AF，则可得AD是EF的垂直平分线；判定AD⊥EF；又由当∠BAC=90°时，可得四边形AEDF矩形，继而证得四边形AEDF是正方形；由AE=AF，DE=DF，即可判定AE2+DF2=AF2+DE2．

∵AD是EF的垂直平分线，

∴OE=OF，OA不一定等于OD，故①错误；

∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，

∴DE=DF，

∵∠ADE=90°-∠DAE，∠ADF=90°-∠DAF，

∴∠ADE=∠ADF，

∴AE=AF，

∴点A在EF的垂直平分线上，点D在EF的垂直平分线上，

∴AD是EF的垂直平分线，

即AD⊥EF，故②正确；

∵∠AED=∠EFD=90°，

∴当∠A=90°时，四边形AEDF是矩形，

∵DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形，故③正确；

∵AE=AF，DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确，

所以正确的是：②③④，

故选C.