Question

如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．

（1）求证：四边形BECD是矩形；

（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形；

（2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵BE=AB，

∴BE=CD．

∴四边形BECD是平行四边形．

∵AD=BC，AD =DE，

∴BC=DE．

∴平行四边形BECD是矩形．

（2）如下图，连接AC，

∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，

∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°，

∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=，

∴在Rt△ACE中，AC=.