Question

如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ）

A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形

B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形

D. 当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

Answer

B

【解析】

A.用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；B.判断四边形EFGH的内角能否为直角；C.根据菱形的定义判断；D.当AD＝3DH，BD＝3DE，AC＝3CG，BC＝3CF时判断四边形EFGH是平行四边形.

如图1，∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，

∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，

∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH为平行四边形.

则A正确；

如图2，当AC⊥BD时，∠1＝90°，

∠1>∠2>∠EHG，∴四边形EHGF不可能是矩形，则B错误；

AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGHB是菱形.

则C正确；

如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形.

∵E，F，H，G是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，

，，∴EH＝FG，

又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，则D正确.

故选B.