Question

如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．

（1）求证：BE⊥CF；

（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】（1）由平行四边形性质得AB∥CD， 可得∠ABC+∠BCD=180°，又BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠EBC+∠FCB=90°，可得∠BGC=90°；

（2）作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分，在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠ABC+∠BCD=180°．

∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，

∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD．

∴∠EBC+∠FCB=90°．

∴∠BGC=90°．

即BE⊥CF．

（2）求解思路如下：

a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．

b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；

c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；

d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．