Question

已知抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．

（1）如图1，连接AP，分别求出抛物线与直线AP的解析式；

（2）如图1，点D（2，3）在抛物线上，在第一象限内，直线AP上是否存在点E，使DE⊥EO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC与抛物线的对称轴交于点F，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使△GPF与△GBF的面积相等？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AP的解析式为y=2x+2；（2）E（，+2）或（﹣，﹣+2）；（3）点Q的坐标为（2，3），（，﹣）．

【解析】(1)把A(-1,0)、两点代入y=-x²+bx+c即可求出抛物线的解析式,求出点P的坐标,将点A、P两点坐标代入即可求出直线解析式;
(2)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q,根据直线BC的解析式为y=-x+3,过点P与BC平行的直线为y=-x+5,得Q的坐标为(2,3),根据PM的解析式为:,直线BC的解析式为y=-x+3,得M的坐标为(1,2),设PM与x轴交于点E,求出过点E与BC平行的直线为y=-x+1,根据,
得点Q的坐标为.

（1）由得，

则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P（1，4），

设直线AP的解析式为y=kx+b，点A、P两点坐标代入得

解得：．

则直线AP的解析式为y=2x+2；

（2）如图1，假设AP上有一点E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，

则△EMO∽△DNE，

∴，

设E（x，y），D（2，3），

则OM=x，EM=y，EN=y﹣3，DN=2﹣x，

∴

又∵y=2x+2，

解得：x=，

∴y=+2，

∴E（，+2）或（﹣，﹣+2）；

（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，

∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5

由

得Q的坐标为（2，3），

∵PF的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∴F的坐标为（1，2），

设PM与x轴交于点E，

∵PF=EF=2，

∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，

由

得或（不合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（，﹣），

∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣）．