Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，E为BC上一点，连接AE与OC交于点D，∠CAE=∠CBA．

（1）求证：AE⊥OC；

（2）若⊙O的半径为5，AE的长为6，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AD=．

【解析】

（1）根据直角三角形的性质和垂直的定义即可得到结论；
（2）由△ACE∽△BCA，得到比例式，设AC=5x，CE=3x，由勾股定理求得AE=，再由三角形相似即可得到结果．

（1）证明：∵∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵∠CAE=∠CBA，

∴∠CAE+∠CAB=90°，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠CAE+∠ACO=90°，

∴∠ADC=90°，

∴AE⊥OC；

（2）【解析】
∵∠CAE=∠CBA，∠ACB=∠ACE，

∴△ACE∽△BCA，

∴==，

∴设AC=5x，CE=3x，

∴AE==x=6，

∴x=，

∴AC=，

∵∠CAE=∠CAD，∠ACE=∠ADC，

∴△ACD∽△AEC，

∴，

∴AD==．