Question

关于x的方程2x²﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．

（1）求sinA的值；

（2）若关于y的方程y²﹣10y+k²﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．

Answer

（1）sinA=；（2）△ABC的周长为或16．

【解析】

（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=；

（2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；

当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．

（1）根据题意得△=25sin2A-16=0，

∴sin2A=，

∴sinA=±，

∵∠A为锐角，

∴sinA=；

（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，

则△≥0，

∴100-4（k2-4k+29）≥0，

∴-（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2，

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，

解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

分两种情况：

当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，

∵sinA=，

∴AD=3，BD=4∴DC=2，

∴BC=2．

∴△ABC的周长为10+2；

当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，

在Rt△ABD中，AB=5，

∵sinA=，

∴AD=DC=3，

∴AC=6．

∴△ABC的周长为16，

综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2或16．