Question

如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点.

 

（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.   

（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.   

（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.

Answer

（1）点P的坐标为（3,4）.（2）点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.（3）点P的坐标为（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.

【解析】试题（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；

（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；

（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．

试题解析：【解析】
（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．

（2）①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．

若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．

若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．

②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．

若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．

若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．

综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．

①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；

②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）；

如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．

综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．