Question

在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于E，若AE=1，线段BE的长为____________．

Answer

.

【解析】由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB，所以DE=AE=1．根据勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可证得BC=CF，然后证得△CBG≌△CFD，再证得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，从而求得CE=AE=1，在△CBE中根据勾股定理求得BE的长．

∵∠CAB=∠CAD=22.5°，

∴∠DAE=45°，

又∵∠AED=90°，

∴DE=AE=1，

∴AD=．

延长AD，过点C作CF垂直AD于F，

由∠CAB=∠CAD可知AC为∠BAD的角平分线，

∴CB=CF，

把三角形CDF绕点C旋转到CF与CB重合，则DF与GB重合，如图：

．

∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；

∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；

∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE

∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，

在△DCE与△GCE中

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠3=∠4=45°，

∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，

∴∠ACE=∠CAB=22.5°，

∴CE=AE=1，

在Rt△CBE中，BE2+BC2=CE2，

即BE=．

故答案为：.