Question

如图，正方形ABCD的边长为，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，

(1)填空：BD=______；

(2)若BE=t，连结PE、PC，求PE+PC的最小值(用含t的代数式表示);

(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．

Answer

（1）BD=2 （2） （3）120° 30°

【解析】.

（1）根据勾股定理计算即可；

（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；

（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．

（1）BD==2 ；

（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，

∵AB=，BE=t，

∴PE+PC的最小值为，

（3）分两种情况考虑：

①当点E在BC的延长线上时，

如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，

∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，

∵∠BAP+∠PEC=90°，

∴2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②当点E在BC上时，

如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，

∴∠CPE=∠PCE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，

∴2∠BCP+∠BCP=90°，

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°-∠AEB=120° .