Question

提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

Answer

（1）答案见解析；（2）不会；（3）答案见解析．

【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC的中垂线BD即可．

（2）小华不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．

（1）作线段AC的中垂线BD即可．

（2）小华不会成功．

若直线CD平分△ABC的面积，过C作CE⊥AB于E，那么S△ADC=S△DBC，

∴AD•CE=BD•CE，

∴BD=AD．

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

∴小华不会成功．

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．

②若直线不过顶点，可分以下三种情况：

（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图1所示．

过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G．

易求，BG=4，AG=CG=3．

设CF=x，则CE=8﹣x，由△CEH∽△CBG，可得EH=．

根据面积相等，可得，∴x=3（舍去，即为①）或x=5，

∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．

（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图2所示．

由（a）可得：AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．

（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图3所示．

过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X．

由面积法可得：AY=，设BP=x，则BQ=8﹣x，

由相似，可得PX= ，根据面积相等，可得，

∴（舍去），或．

而当BP=时，BQ=，舍去，∴此种情况不存在．

综上所述：符合条件的直线共有三条．