Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=，根据正切的定义得到tan∠ABD=，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得，然后根据比例的性质可计算出CD的长．

详（1）证明：连接OD，如图，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠BDO，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA=∠ODB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠CDA=∠ODB，

∴tan∠CDA=tan∠ABD=，

在Rt△ABD中，tan∠ABD=，

∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，

∴△CAD∽△CDB，

∴，

∴CD=×6=4．