Question

如图，中，，，的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中．

中点P经过的路径长______．

点C运动的路径长是______．

Answer

【解析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，确定中点P的运动路径：以O为圆心，以OP为半径的圆弧，半径OP=AB=2，代入周长公式计算即可；

（2）分为两种情况：

①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；

②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′；

分别计算并相加．

（1）如图1，∵∠AOB=90°，P为AB的中点，

∴OP=AB，

∵AB=，

∴OP=2，

∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，

即AB中点P经过的路径长=×2×2π=π；

（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，

点C运动的路径长是CC′的长，

∴AC′=OC=8，

∵AC′∥OB，

∴∠AC′O=∠COB，

∴cos∠AC′O=cos∠COB=，

∴，

∴OC′=4，

∴CC′=4-8；

②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，

此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，

CC′=OC′-BC=4-4，

综上所述，点C运动的路径长是：4-8+4-4=8-12；

故答案为：(1). (2).