Question

如图，中，，，，直线，且分别交边AB，AC于点M，N，已知直线MN将分为和梯形MBCN面积之比为5：1的两部分，如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么______．

Answer

【解析】过点A作AE⊥BC于点E，由AB=AC、∠A=60°，可得出△ABC为等边三角形，进而可得出BE、AE的长度，由MN∥BC可得出△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质结合直线MN将△ABC分为△AMN和梯形MBCN面积之比为5：1的两部分，可求出AM的长度，由旋转的性质可得出AD的长度，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的长度，再根据BD=BE±DE，即可求出BD的长度．

过点A作AE⊥BC于点E，如图所示.

∵AB=AC,∠A=60∘，

∴△ABC为等边三角形,

∴BE=CE=BC=3,AE=BC=3.

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴,

∵直线MN将△ABC分为△AMN和梯形MBCN面积之比为5:1的两部分，

∴= ,即，

解得：AM=，

∴AD=AM=

在Rt△ADE中,∠AED=90∘,AD=,AE=3.

∴DE=3，

∴BD=BE±DE=3±3

故答案为：