Question

已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．

（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；

（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长．

（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ABC=90°，

∵∠F=∠A=90°，

∴∠F=∠ABC，

∵DA平分∠EDF，

∴∠ADE=∠ADF，

∵∠ABE=∠ADE，

∴∠ABE=∠ADF，

∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，

∴∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，

∵∠F=90°，

∴HF⊥FD，

∵DA平分∠EDF，

∴HM=FH，

∵FH=BP，

∴HN=BP，

∵KH∥BN，

∴∠DKH=∠DLN，

∴∠ELP=∠DLN，

∴∠DKH=∠ELP，

∵∠BED=∠A=90°，

∴∠BEP+∠LEP=90°，

∵EP⊥BN，

∴∠BPE=∠EPL=90°，

∴∠LEP+∠ELP=90°，

∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，

∵HM⊥KD，

∴∠KMH=∠BPE=90°，

∴△BEP≌△HKM，

∴BE=HK；

（3）【解析】
如图3，连接BD，

∵3HF=2DF，BP=FH，

∴设HF=2a，DF=3a，

∴BP=FH=2a，

由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，

∵∠F=∠A=90°，

∴tan∠HDM=tan∠FDH，

∴，

∴DM=3a，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，

∴∠DBF=∠BDE，

∵∠BED=∠F，BD=BD，

∴△BED≌△DFB，

∴BE=FD=3a，

过H作HS⊥BD，垂足为S，

∵tan∠ABH=tan∠ADE=，

∴设AB=3m，AH=2m，

∴BD=AB=6m，DH=AD-AH=m，

∵sin∠ADB=，

∴HS=m，

∴DS==m，

∴BS=BD-DS=5m，

∴tan∠BDE=tan∠DBF=，

∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE=，

∵BP=FH=2a，

∴RP=10a，

在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，

∴△BET≌△HKD，

∴∠BTE=∠KDH，

∴tan∠BTE=tan∠KDH，

∴，即PT=3a，

∴TR=RP-PT=7a，

∵S△BER-S△DHK=，

∴BP•ER-HM•DK=，

∴BP•（ER-DK）=BP•（ER-ET）=，

∴×2a×7a=，

解得：a=（负值舍去），

∴BP=1，PR=5，

则BR=．