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如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠...

如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,ABC=DEF=90°,EDF=30°

操作:将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.

探究一:在旋转过程中,

(1)如图2,当时,EPEQ满足怎样的数量关系?并给出证明;

(2)如图3,当时,EPEQ满足怎样的数量关系?并说明理由;

(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EPEQ满足的数量关系式为     ,其中m的取值范围是     .(直接写出结论,不必证明)

探究二:若AC=30cm,连接PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:

(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.

(2)随着S取不同的值,对应EPQ的个数有哪些变化,求出相应S的值或取值范围.

 

探究一:(1)EP=EQ;证明见解析;(2)1:2,证明见解析;(3)EP:EQ=1:m,∴0<m≤2+;探究二:(1)当x=10时,面积最小,是50cm2;当x=10时,面积最大,是75cm2.(2)50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S=50或62.5<S≤75时,这样的三角形有一个. 【解析】探究一:(1)连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,∠PBE=∠C,根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ,即可得到全等三角形,从而证明结论; (2)作EM⊥AB,EN⊥BC于M、N,根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ,发现EP:EQ=EM:EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM:EN=AE:CE; (3)根据(2)中求解的过程,可以直接写出结果;要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析; 探究二:(1)设EQ=x,结合上述结论,用x表示出三角形的面积,根据x的最值求得面积的最值; (2)首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论. 探究一:(1)连接BE, 根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得 BE=CE,∠PBE=∠C, 又∠BEP=∠CEQ, 则△BEP≌△CEQ,得EP=EQ; (2)作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N, ∴∠EMP=∠ENC, ∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°, ∴∠MEP=∠NEF, ∴△MEP∽△NEQ, ∴EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2; (3)过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N, ∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°, ∴∠EPB+∠EQB=180°(四边形的内角和是360°), 又∵∠EPB+∠MPE=180°(平角是180°), ∴∠MPE=∠EQN(等量代换), ∴Rt△MEP∽Rt△NEQ, ∴, 在Rt△AME∽Rt△ENC, ∴, ∴, EP与EQ满足的数量关系式为EP:EQ=1:m, ∴0<m≤2+;(当m>2+时,EF与BC不会相交). 探究二:若AC=30cm, (1)设EQ=x,则S=x2, 所以当x=10时,面积最小,是50cm2; 当x=10时,面积最大,是75cm2; (2)当x=EB=5时,S=62.5cm2, 故当50<S≤62.5时,这样的三角形有2个; 当S=50或62.5<S≤75时,这样的三角形有一个.
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为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力,某巿自20181117日起,调整出租车运价,调整方案见下列表格及图象(其中a,b,c为常数)

行驶路程

收费标准

调价前

调价后

不超过3km的部分

起步价6

起步价a

超过3km不超出6km的部分

每公里2.1

每公里b

超出6km的部分

每公里c

 

设行驶路程xkm时,调价前的运价y1(元),调价后的运价为y2(元)如图,折线ABCD表示y2x之间的函数关系式,线段EF表示当0≤x≤3时,y1x的函数关系式,根据图表信息,完成下列各题:

(1)填空:a=     ,b=     ,c=     

(2)写出当x>3时,y1x的关系,并在上图中画出该函数的图象

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如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)

(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1

(2)画出将ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的A2B2C2

(3)△A1B1C1A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;

(4)△A1B1C1A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.

 

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小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表,请你根据图表信息完成下列各题:

项目

月功能费

基本话费

长途话费

短信费

金额/

5

 

 

 

 

(1)该月小王手机话费共有多少元?

(2)扇形统计图中,表示短信费的扇形的圆心角为多少度?

(3)请将表格补充完整;

(4)请将条形统计图补充完整.

 

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