Question

如图，P为反比例函数(x＜0)在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=－x+4的图像于点A、B.若AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，则k的值为___________．

Answer

8

【解析】分析: 作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．

详解: 作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，），

∵直线AB函数式为y=-x+4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，

∴∠PBA=∠PAB=45°，

∴PA=PB，

∵P点坐标（-n，-），

∴OD=CQ=n，

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵当x=0时，y=-x+4=4，

∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=2；

同理可证：BG=BF=PD=，

∴BE=BG+EG=+2；

∵∠APB=90°，

∴∠PAB+∠PBA=90°.

∵AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，

∴∠OBE+∠OAE=45°，

∵∠DAO+∠OAE=45°，

∴∠DAO=∠OBE，

在△BOE和△AOD中，

∵∠DAO=∠OBE,

∠BEO=∠ADO=90°，

∴△BOE∽△AOD；

∴ ,

∴；

整理得：nk+2n2=8n+2n2，

化简得：k=8；

故答案为：8.