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阅读下列材料: 已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,...

阅读下列材料:

已知:如图1,等边A1A2A3内接于⊙O,点P上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可证:PA1+PA2=PA3,从而得到:是定值.

(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;

证明:如图1,作∠PA1M=60°,A1MA2P的延长线于点M.

∵△A1A2A3是等边三角形,

∴∠A3A1A2=60°,

∴∠A3A1P=A2A1M

A3A1=A2A1A1A3P=A1A2P,

∴△A1A3P≌△A1A2M

PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1

,是定值.

(2)延伸:如图2,把(1)中条件等边A1A2A3改为正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问:还是定值吗?为什么?

(3)拓展:如图3,把(1)中条件等边A1A2A3改为正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则=    (只写出结果).

 

(1)证明见解析;(2)是定值,理由见解析;(3) 【解析】(2)结论:是定值.在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.证明PA4=A4+PH=PA2+PA1,同法可证:PA3=PA1+PA2,推出(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,可得PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),即可解决问题; (3)结论:则.如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.同法可证:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,即可解决问题; (1)如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M. ∵△A1A2A3是等边三角形, ∴∠A3A1A2=60°, ∴∠A3A1P=∠A2A1M 又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P, ∴△A1A3P≌△A1A2M ∴PA3=MA2, ∵PM=PA1, ∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1. ∴,是定值. (2)结论:是定值. 理由:在A4P上截取AH=A2P,连接HA1. ∵四边形A1A2A3A4是正方形, ∴A4A1=A2A1, ∵∠A1A4H=∠A1A2P,A4H=A2P, ∴△A1A4H=△A1A2P, ∴A1H=PA1,∠A4A1H=∠A2A1P, ∴∠HA1P=∠A4A1A2=90° ∴△HA1P的等腰直角三角形, ∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1, 同法可证:PA3=PA1+PA2, ∴(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4, ∴PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4), ∴. (3)结论:则. 理由:如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1. 由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形, ∴PH=PA4,即PA1+PA2=PA4, 如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3. 同法可证:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形, ∴PH=PA4,即PA5+PA3=PA4, ∴.
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考点分析:
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