Question

如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD；

（3）OE是线段CD的垂直平分线．

Answer

见解析

【解析】

试题（1）根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC；

（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证△OED≌△OEC，可得OC=OD；

（3）根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．

试题解析：证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；

（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．