Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B₁DE．

（1）当A、D、B₁、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；

（2）当DB₁⊥AC时，求△DE B₁和△ABC重叠部分的面积．

Answer

(1) 或3;(2).

【解析】（1）如图1，由平行四边形的性质得DB1∥AC，且DB1=AC=3，由折叠知BD=DB1= 3，∠BDE=∠EDB1==30°，过E作EH⊥DB于H，则DH=BH=，在Rt△DEH中，根据勾股定理得DE2=（DE）2+，解之可得DE的值；如图2，由平行四边形的性质得B1D∥AC，且B1D=AC=3，又CD=AB=3，∠CAB=60°，可证四边形ACDB1为含60°角的菱形，从而∠E B1D=∠C B1D =30°，即E与C重合，DE的长即是CD的长.

（2）设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，在Rt△ADP中，求出AP和DP的长，在Rt△B1PQ中，求出B 1P和PQ的长，然后根据△DE B1和△ABC重叠部分的面积=S△B1DE- S△B1PQ计算即可.

（1）如图1，若四边形为ACB1D的平行四边形，则有DB1∥AC，且DB1=AC=3，

由题意，∠B=30°，∠BDE=∠EDB1=30°，

∴DE=BE，

在Rt△ABC中，∠A=60°，AC=3，∴AB=6，BD=3，

过E作EH⊥DB于H，则DH=BH=，

在Rt△DEH中，EH=DE，DH=，

∴DE2=（DE）2+，

∴DE=；

如图2，若四边形为ACDB1的平行四边形，则有，B1D∥AC，且B1D=AC=3，

∵CD=AB=3，∠CAB=60°，

∴四边形ACDB1为含60°角的菱形，

∵∠E B1D=∠C B1D =30°，

∴E与C重合，

∴DE=CD=3；

综上，DE=或3,

（2）当DB1⊥AC时（如图3），设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，

则：Rt△ADP中，∠A=60°，AD=3，

∴AP=，DP=，

Rt△B1PQ中，∠B 1=∠B=30°，B 1P=3－，

∴PQ=－，

∴S△B1PQ=×B 1P PQ= ×（3－）（－）=－，

又S△B1DE==×DB 1 PC=×3×=，

∴△DE B1和△ABC重叠部分的面积=－+=－.