Question

如图，已知平行四边形ABCD，点O为AD中点，点E在BD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AB=3，AD=6，∠BAD=135°，当四边形BEDF为菱形时，求AE的长．

Answer

(1)见解析;(2) AE =1.

【解析】

（1）先根据“SAS”证明△DOE≌△BOF，从而ED=BF，再根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证得结论成立；

（2）过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，可证△ABH是等腰直角三角形，从而求出BH=HA=3，设AE=x，则EB=ED=6－x，在Rt△BHE中，利用勾股定理列方程求解即可.

（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵点O为AD中点，∴BO=OD

∵在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF，

∴ED=BF，

∴四边形BEDF是平行四边形.

（2）如图，过点B作BH⊥AD，交DA延长线于点H，

∵∠BAD=135°，

∴∠BAH=45°

在Rt△ABH中，AB=3，

∴BH=HA=3，

设AE=x，

∵四边形BEDF为菱形，

∴EB=ED=6－x

在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，

∴32+（3+x）2=（6－x）2

解得：x=1 ，

∴AE =1.