Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，

（1）求证：△BPC为直角三角形；

（2）若BC＝16，CD=3，PE＝8，求△PEF的面积．

Answer

(1)见解析;(2)24.

【解析】由平行四边形的性质得∠ABC+∠BCD=180°，由角平分线的定义可得∠PBC+∠BCP=90°，再根据三角形内角和可求∠BPC=90°；

（2）先根据等角对等边说明AB=AE=3，CD=DF=3，从而可求EF=10，根据勾股定理求出PF的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵∠B、∠C的平分线交于P，

∴∠PBC+∠BCP=（∠ABC+∠BCD ）=90°

∴∠BPC=90°，即△BPC为直角三角形；

（2）由题意可知，∠ABE=∠CBE=∠BEA，∠DCF=∠CBF=∠CFD，

∴AB=AE=3，CD=DF=3，

∴EF=10，

∴Rt△REF中，PE＝8 ，EF=10，

∴PF＝6，

∴△PEF的面积=24