Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，过点0的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6．则AE²+BF²的值为（   ）

A. 9    B. 16    C. 18    D. 36

Answer

C

【解析】过点A作AM∥EF交BC于点M，易证四边形AEFM是平行四边形，可得出AM=EF，AE=MF，再通过证三角形全等，得出AE=CF，可得出BA2=BF2+2BFAE+AE2（1），再在Rt△ABM中，利用勾股定理得出MA2=AB2+BF2-2BFAE+AE2（2），然后由（1）+（2），可求出结果.

过点A作AM∥EF交BC于点M

∵正方形ABCD

∴AD∥BC，OA=OC

∠EAO=∠FCO

在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（ASA）

∴AE=CF

∴BC=BF+FC

BA2=BC2=(BF+AE）2,

即BA2=BF2+2BFAE+AE2（1）

∵AD∥BC，AM∥EF

∴四边形AEFM是平行四边形

∴AE=MF，AM=EF=6

∴BM=BF-MF=BF-AE

在Rt△ABM中

MA2=AB2+(BF-AE）2=AB2+BF2-2BFAE+AE2（2）

由（1）+（2）得

BA2+EF2=BF2+2BFAE+AE2+AB2+BF2-2BFAE+AE2

36=2BF2+2AE2

∴AE2+BF2=18

故选：C.