（1），;(2) ①理由详见解析；②;(3) 2﹣或或2+．
【解析】
试题(1)根据两点之间,线段最短可知,点Q在线段BD上时BQ＋DQ的值最小,是BD的长度,利用勾股定理即可求出;再根据△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;
(2) ①由对称可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根据∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,从而EQ=EC.再根据∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°, ∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ, 所以∠QDE=∠DQE，从而EQ=ED.易得点E是CD的中点；②在Rt△PDE中，PE= PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根据勾股定理即可求出x的值.
(3) △CDQ为等腰三角形分两种情况:①CD为腰,以点C 为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形的Q点; ②CD为底边时,作CD的垂直平分线,与的交点即为△CDQ为等腰三角形的Q点,则共有 3个Q点,那么也共有3个P点,作辅助线,利用直角三角形的性质求之即得.
试题解析：（1），．
（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE=90°﹣∠QCE，
∠DQE=90°﹣∠EQC，
∴∠QDE=∠DQE，
∴EQ=ED，
∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．
②∵AP=x，AD=1，
∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE=QE=CE=，
∴PE=PQ+QE=x+，
∴，
解得 x=．
（3）△CDQ为等腰三角形时x的值为2-，，2+．
如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时
△CDQ2以CD为底的等腰三形．
以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．
讨论Q₁:如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴，．
在四边形ABPQ1中，
∵∠ABQ1=30°，
∴∠APQ1=150°，
∴△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE=．
∵AE=，
∴x=AP=AE-PE=2-．
②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．
在四边形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°, ∠ABQ₂=60°,
∴∠APE=120°
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴，
∴EG=，
∴DG=DE+GE=-1，
∴PD=1-，
∴x=AP=1-PD=．
③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，
∴，，
∴．
在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=,EF=．
∵AE=，
∴x=AP=AE+PE=+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．
的最小值.
，求AD的长．
